Skärningspunkt mellan räta linjer

Låt oss säga att vi har två räta linjer:

$y = k_1x + m_1$

$y = k_2x + m_2$

Målet är att hitta ett par $(x, y)$ som uppfyller båda dessa ekvationer samtidigt.

Eftersom båda uttrycken är lika med $y$, kan vi sätta linjernas ekvationer lika med varandra:

$$ k_1x + m_1 = k_2x + m_2 $$

Här är $k_1$ och $m_1$ lutningen och skärningen för den första linjen och $k_2$ och $m_2$ för den andra linjen. Vi löser denna ekvation för $x$ för att hitta x-värdet där linjerna skär varandra.

Lösa ekvationen för $x$

Först löser vi ekvationen:

$$ k_1x + m_1 = k_2x + m_2 $$

Börja med att samla alla termer innehållande $x$ på ena sidan och konstanter på den andra:

$$ k_1x - k_2x = m_2 - m_1 $$

Faktorisera ut $x$:

$$ x(k_1 - k_2) = m_2 - m_1 $$

Nu kan vi lösa för $x$ genom att dividera båda sidor med $(k_1 - k_2)$, antar att de inte är lika (om $k_1 = k_2$ är linjerna parallella och har ingen skärningspunkt):

$$ x = \frac{m_2 - m_1}{k_1 - k_2} $$

Hitta $y$-värdet

När vi nu har ett $x$-värde, sätter vi in det i någon av ursprungliga linjens ekvationer för att finna $y$-värdet. Det spelar ingen roll vilken ekvation du använder, så länge uttrycken är korrekta, eftersom de båda borde ge samma $y$-värde vid $x$-koordinaten för skärningspunkten:

$$ y = k_1 \left(\frac{m_2 - m_1}{k_1 - k_2}\right) + m_1 $$

eller

$$ y = k_2 \left(\frac{m_2 - m_1}{k_1 - k_2}\right) + m_2 $$

Så för att hitta skärningspunkten mellan två räta linjer:

Sätt linjernas ekvationer lika med varandra för att hitta $x$.

Lösa ekvationen för $x$.

Sätt in $x$-värdet i någon av linjernas ekvationer för att få $y$.

Det uppfunna $(x, y)$-paret är din skärningspunkt.

Det här är en metod som kommer till nytta vid högskoleprovet och även i matematik eftersom skärningspunkterna kan utnyttjas i olika tillämpningsproblem och geometri.