Att jämföra bråk

Ett bråk är ett uttryck som beskriver delar av en helhet. Det skrivs i formen $\frac{a}{b}$, där:

• $a$ är täljaren (antalet delar som tas),

• $b$ är nämnaren (antalet lika stora delar helheten är uppdelad i).

Exempelvis representerar bråket $\frac{3}{4}$ tre delar av något som är uppdelat i fyra lika stora delar.

Två bråk är likvärdiga om de representerar samma mängd, även om både täljare och nämnare kan vara olika. Till exempel är $\frac{2}{4}$ och $\frac{1}{2}$ likvärdiga eftersom de båda representerar samma andel av en helhet.

För att hitta likvärdiga bråk kan du multiplicera eller dividera täljaren och nämnaren med samma tal (förutom noll).

För att jämföra bråk är ett av de mest användbara verktygen att hitta en gemensam nämnare, alltså ett tal som båda (eller alla) nämnare kan delas med jämnt.

Minsta gemensamma nämnare (MGN)

Minsta gemensamma nämnare är det minsta tal som är en gemensam multipel av båda nämnarna. Att ha en gemensam nämnare gör det enklare att jämföra storleken på bråken genom att vi kan ha samma bas för jämförelse.

Hitta gemensam nämnare

För bråken $\frac{a}{b}$ och $\frac{c}{d}$, multiplicera täljare och nämnare för $\frac{a}{b}$ med $d$, och täljare och nämnare för $\frac{c}{d}$ med $b$. Detta ger båda bråken samma nämnare $bd$:

$$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} $$

$$ \frac{c}{d} = \frac{c \cdot b}{d \cdot b} $$

Då kan vi jämföra $\frac{a \cdot d}{b \cdot d}$ och $\frac{c \cdot b}{d \cdot b}$ direkt.

Om täljarna är lika, jämför direkt nämnarna. Bråket med den mindre nämnaren är större:

$$ \text{Om } \frac{3}{4} \text{ och } \frac{3}{5} \text{, så är } \frac{3}{4} > \frac{3}{5} $$

Om nämnarna är lika

Om nämnarna är lika, jämför direkt täljarna. Bråket med den större täljaren är större:

$$ \text{Om } \frac{3}{5} \text{ och } \frac{4}{5} \text{, så är } \frac{4}{5} > \frac{3}{5} $$

Förlängning innebär att multiplicera både täljare och nämnare med samma tal. Det förändrar inte värdet av bråket.

$$ \text{Förläng } \frac{2}{3} \text{ med } 4: \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} $$

Förkortning

Förkortning innebär att dividera både täljare och nämnare med deras största gemensamma delare (SGD). Det gör bråket enklare att arbeta med men ändrar inte dess värde.

$$ \text{Förkorta } \frac{8}{12} \text{ med } \text{SGD } 4: \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3} $$

Att kunna omvandla bråk till decimaltal kan också vara användbart när man jämför bråk:

Bråk till decimaltal

Dividera täljaren med nämnaren:

$$ \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75 $$

Decimaltal till bråk

Skriv decimaltalet som ett bråk och förkorta det om möjligt:

$$ 0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} $$

Att jämföra bråk kräver en förståelse för grundläggande begrepp som nämnare, täljare, förlängning, förkortning och gemensam nämnare. Med dessa tekniker kan vi säkert och effektivt jämföra bråk av olika former och storlekar.

Att bemästra dessa koncept är inte bara nyttigt för högskoleprovet, utan även för ett brett spektrum av matematiska tillämpningar och problem. Lycka till med ditt fortsatta lärande!